基于轴锥镜大景深成像系统的研究

翟中生   陈慧   赵斌   

（华中科技大学机械学院，湖北 武汉 430074）

摘要：增大光学系统的景深已成为一项有意义的研究主题。根据轴锥镜镜的线焦特性，阐述了基于轴锥镜的大景深成像系统的基本原理。简单讨论了点光源在透镜前不同位置时系统点扩散函数的形式，并分析出其形状随点光源距透镜距离的改变而变化。利用无衍射光束的形成条件，推导出系统景深的计算公式。对于由半径r=15mm，锥角θ = 0.01rad的轴锥镜和焦距f = 125mm的透镜组成的成像系统，其焦深可达336mm。实验结果表明用轴锥镜能增大光学系统的景深。

关键词：轴锥镜；大景深成像系统；点扩散函数；图像恢复

中图分类号：TB92                    文献标识码：A

Study of large depth-of-field imaging system based on axicon

ZHAI Zhongsheng, ZHAO Bin

(School of Mechanical and Engineering, Huazhong University of Science & Technology，Wuhan Hubei 430074 ,China)

Abstract：It has been an active research topic to extend the depth-of-field of optical imaging systems. The axicon that can image a point into a line segment along the optical axis, it can be used to extend the depth-of-field of an imaging system, and the imaging theory was explored. The forms of point spread function(PSF) are briefly discussed when the point source at different positions along the optical axis, and they are changed with the distance between the point source and the lens. The calculation method of depth-of-field is also deduced based on the producing conditions of non-diffracting beams. For an imaging system that was composed of a lens with focal length f = 125mm and an axicon with radius r = 15mm, cone angle θ = 0.01rad, the depth-of-field is 232mm. Experimental results validate the effect and feasibility of this method.

Key words：axicon; large depth-of-field imaging system; PSF; image restoration

0 引言

普通光学成像系统对三维空间或三维物体成像时常受景深的影响，所成的像只有一部分是清晰的，而离焦部分是模糊的。在应用光学领域常采用缩小相对孔径来增大景深，但这会造成降低系统的空间分辨率，并使图像细节模糊。现有扩大光学系统景深的主要方法有：光学切趾[1-4]、波前编码[5-9]等。

普通光学系统中，当离焦逐渐严重时其衍射光斑的大小急剧变化，而无衍射光束具有中心光斑的大小形状都不随传播距离而变化的特性[10]。轴锥镜由于具有装置简单和转换效率高的特点被广泛用作产生无衍射光的光学元件[11]。本文利用轴锥镜能产生无衍射光及线焦的特性，将其应用于光学成像系统，使得该系统的点扩散函数能在较大的景深范围内不随离焦像差变化而变化，或缓慢变化，这样就可以在很大范围内得到较清晰的像。

1 成像系统的基本原理

普通光学成像系统景深有限性的物理原因是由于光的衍射，随着离焦位置（即光束传播位置）的不同，衍射光斑的大小急剧变化，而平行光入射轴锥镜产生的无衍射光束的中心光斑的大小在一定范围内保持不变，非平行光照射时中心光斑的尺寸缓慢变化。

我们利用轴锥镜能产生焦线的特性来设计大景深的成像系统。如图1所示，将轴锥镜置于非相干照明光路中，从空间物体上反射的光线经透镜、轴锥镜后在CCD上成对离焦不敏感的不甚清晰像，再利用数字图像处理技术对这些像进行恢复处理。由于其点扩散函数在较大范围内变化很小，因此对CCD获得的不甚清晰像进行恢复就可得到较大范围内的清晰像。

    在实际的成像系统中，透镜、轴锥镜和CCD的位置一般是相对固定的。在透镜前后不同位置移动物体时将会在CCD上获得大小不同的像。当物体在透镜的前焦面上时，经过轴锥镜的光波为平面波，当物体不在透镜的前焦面上时，经过锥镜的光波则不是平面波，我们在后面分析出物体在不同位置时，其点扩散函数会缓慢的变化。这样为了得到每个位置上清晰的图像，需要先得到各个位置上的PSF，然后用相应位置的PSF对该处所成的像进行处理，最后得到清晰的像。

2成像系统的PSF

对大多数成像系统而言，其PSF主要取决于光学系统的衍射。如图2所示，设轴锥镜的夹角为θ，它对应的透过函数为

（1）

式中n为轴锥镜材料的折射率，D为轴锥镜的直径，ρ＝(x2+y2)1/2，k＝2π/λ，λ为波长。

根据轴锥镜和透镜的透过函数，文献[12]推导了球面波照射轴锥镜的衍射特性，我们进一部推导出单色点光源在透镜前焦面上、焦前和焦后不同位置处的复振幅分别为：

（2）

其中，z0 为会聚和发散球面波的半径，

                                       (3)

实际的光源大多是部分相干和非相干的，对于这类光源，我们将其分解为不同频率单色光的线性组合，而不同频率的单色光是非相干的，因此系统的PSF为不同频率的单色光产生强度的线性叠加。设光源的光谱是连续且分布在（λbeg，λend）区间内，则不同位置对应的PSF为频谱范围内的强度积分：

                   （4）

从上式可分析出，当z和k一定时，中心光斑的尺寸主要取决于零阶贝塞尔函数中的rp、r1p、r2p。由（3）式可知r1p > rp> r2p，因此不同位置处的PSF的大小是不一样的，其中心光斑的尺寸随物体离透镜距离的减小而增大。

3图像复原

图像复原的目的是对退化的图像进行处理以恢复出物体的清晰像。由前面的分析可知，该成像系统采集到的都是不甚清晰的像，因此需要对采集到的数字图像进行恢复。实际采集的中间图像由于CCD的背景电平以及杂散光等因素的影响，总会有噪声的存在，而且该系统是一个线性、位置不变的过程，因此CCD采集的图像可由下式给出

                     (5)

式中，h(x,y)为点扩散函数，f(x,y)理想的清晰图像，n(x,y)为噪声，“*”为空间卷积。根据前面的分析不同位置的点扩散函数h(x,y)是不一致的，因此，在系统的景深范围内进行图像恢复时，不同位置处的f(x,y)应使用相应位置的h(x,y)。

4景深分析

实际的光学成像系统由于透镜和轴锥镜的孔径有限，以及轴锥镜到CCD距离一定，因此该系统的景深是在一定的范围内。轴锥镜产生的无衍射光束是由从轴锥镜出射的上下两部分光束相交产生的，如果通过轴锥镜最外部的光线在CCD成像面之前相交或出射的是发散光线，则不能形成无衍射光束。

下面以轴上点分析具体成像系统的景深，设透镜的焦距为f，透镜和轴锥镜的半径都为r，轴锥镜和透镜之间的距离为s，轴锥镜和CCD之间距离为z，轴锥镜的夹角为θ，如图3所示。当点光源从很远处向透镜移动，由于很远处的点光源在CCD前已经聚焦，因此不能在CCD上成像；设当移到轴上A处时，点光源刚好在CCD上相交，与光轴的夹角为γ。从图3中可知有如下关系：

,                                             （6）

,                                  （7）

,                                            （8）

,                                          （9）

将（7）、（8）、（9）式代入（6）式，并将小角度进行简化处理后，（6）式变为

.                             （10）

当点光源从透镜的前焦面逐渐移近透镜时，点光源发出的光经过透镜后变成发散的球面波。从图3中可以看出，当点光源在光轴上向透镜移动时，透过轴锥镜上下两部分会聚的光线逐渐减少，但中间部分仍有会聚的光，因此该成像系统景深的另一个临界点B点可到透镜的表面，即d = 0，这样系统的景深范围为D = l。

5实验结果

根据图1所示的原理图设计了大景深的成像系统，该系统中各参数的取值分别为f = 125mm，s = 4 mm，z = 120 mm，n = 1.5，r = 15 mm，θ = 0.01。由（10）可计算出l = 336mm，即系统的景深D = 336mm。

图4给出了在景深范围内不同位置处的PSF实验结果图，从图中可以看出，在系统的景深范围内，PSF变化比较缓慢。

图4 不同位置处PSF的实验图像

Fig 4 Experimental images of PSF at different positions

根据图4中的不同位置，用该系统对某芯片上的文字在相应位置进行成像，采集的图像如图5所示。从图中可以看出，随芯片离透镜距离的减小芯片上的文字在逐渐地增大，而且所成的像都不甚清晰。

(a)   l =120mm                     (b)   l = 140mm                     (c)   l = 190mm

(e) l =270mm                      (f)   l =310mm                     (g)   l = 330mm

图5 不同位置采集的实验图像

Fig 5 Experimental images of an object at different positions

图6给出了用图4中不同位置的PSF对图5中相应图像进行wiener滤波恢复的结果。

(a)   l =120mm                    (b)   l = 140mm                     (c)   l = 190mm

(e) l =270mm                     (f)   l =310mm                     (g)   l = 330mm

图6   图5中不同位置处的恢复结果

Fig 6 Restoration results of the images in Fig 5

从图6中可以看出，在景深范围内较好的恢复出了不同位置的图像，但由于光源、噪声、轴锥镜加工误差以及透镜像差等因素的影响，所恢复出的图像还没有达到理想的状态。

6结论

本文根据轴锥镜能产生焦线的特性，将其应用于大景深的成像系统中，并对该系统的成像原理、点扩散函数以及系统的景深进行了理论分析。实际的系统成像实验表明，在成像光学系统中加入轴锥镜后能在较大的离焦范围内都具有好的成像质量，有效的增大了光学成像系统的景深。本文的工作有助于将轴锥镜应用于大景深的成像系统的研究，比如应用于显微镜等实际成像系统中。将轴锥镜应用于大景深的成像系统具有很大的应用潜力和广阔的应用前景。

参考文献

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　 吕百达, 张　彬, 蔡邦维等.有限束宽无衍射光束特性的研究[J].科学通报, 1994, 39 (2) :125～128

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   周立萍, 赵斌, 郭军等. 锥形透镜对球面波的传输变换特性[J]. 华中理工大学学报，1997，25(9): 7-9

作者简介：

翟中生（1978－），男，湖北武穴人，现为华中科技大学机械学院仪器系博士研究生，主要研究方向：光学、光学成像、图像处理。Email: supersakula@163.com.

导师简介：

赵　斌(1963 - ) , 男, 江西南丰人, 现为华中科技大学仪器系教授,博士生导师，博士，主要研究方向：从事光学精密测量研究。Email：zhaobin63@sohu.com.

国家自然科学基金资助项目（编号：30470489）

国家973计划项目（编号：2007CB714000）